Cours MAT995Q – Géométrie et combinatoire des groupes de Coxeter

Les groupes de Coxeter joue un rôle fondamental dans plusieurs domaines des mathématiques : ils apparaissent comme groupes de Weyl en théorie de Lie, en théorie de Kazhdan-Lusztig, pour les algèbres amassées ou en géométrie algébrique; ils sont les groupes discrets de réflexions agissant sur les espaces à courbure constante en géométrie et sont primordiales dans la définition des immeubles. L’étude des groupes de Coxeter sont souvent la clef afin de comprendre les structures qui leurs sont associés.

Nous commencerons par couvrir les propriétés de base de ces groupes : conditions d’échange/réduction, théorème de Matsumoto, représentations géométriques et systèmes de racines. Nous utiliserons alors cette théorie pour montrer que tout groupe discret engendré par des réflexions dans un espace euclidien ou hyperbolique est un groupe de Coxeter.

 Nous discuterons ensuite les liens entre les systèmes de racines, l’ordre faible, l’ordre de Bruhat et le graphe de Cayley munit de sa métrique géodésique. On conclura cette partie par montrer que tout groupe de Coxeter est automatique.

 La dernière partie du cours sera dédié à des développements récents de la recherche sur le sujet. En particulier, on mettra en lumière les structures d’ombres de Garside, d’arrangements de Shi et leurs liens avec la récente preuve de la biautomaticité des groupes de Coxeter et le problème des mots dans les groupes d’Artin-Tits.