Cours MAT993U – Séminaire de géométrie et topologie : Géométrie kählérienne des variétés toriques

Ce cours a un double objectif. Dans un premier temps, nous introduirons la notion de variété torique, de deux points de vue complémentaires : le point de vue de la géométrie symplectique et les actions hamiltoniennes (la théorie de Delzant) et le point de vue de la géométrie algébrique complexe (la théorie des polytopes entiers et les éventails). Dans une deuxième partie du cours, nous nous spécialiserons dans l’étude de la géométrie riemannienne des variétés toriques et décrirons les métriques riemanniennes compatibles en termes de fonctions convexes lisses sur le polytope de Delzant correspondant (la théorie d’Abreu-Guillemin). Ceci nous conduira à notre objectif final qui est de présenter la résolution récente (obtenue par Chen-Cheng en 2021) de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, donnant une condition nécessaire et suffisante, exprimée en termes du polytope de Delzant correspondant, pour qu’une variété torique admette une métrique riemannienne compatible de courbure scalaire constante. Le seul pré-requis est un premier cours de géométrie différentielle sur les variétés. Le cours servira de préparatif pour l’école doctorale CRM-SMS Travaux récents sur les métriques de Kähler à courbure spéciale (17-21 juin 2024, https://www.crmath.ca/activites/#/type/activity/id/3897).

Avoir suivi un cours de géométrie différentielle sur les variétés