Cours MAT2250 – Théorie des groupes

Introduire les étudiants aux structures algébriques fondamentales au moyen de la théorie des groupes.

Introduction aux structures algébriques : monoïdes, groupes, sous groupes, sous-groupes engendrés, groupes monogènes et cycliques, ordre d’un élément. Morphismes de groupes, noyau et image, isomorphismes. Exemples : Z, Q, R, C, groupe additif des entiers modulo n, groupe multiplicatif des éléments inversibles modulo n, groupe des bijections, groupes symétriques et alternés, groupe linéaire, sous-groupes du groupe linéaire. Groupe diédral. Classe modulo un sous-groupe. Classe et relation d’équivalence, bonne définition d’une fonction sur un ensemble quotient ; classe modulo un sous-groupe, théorème de Lagrange, ensemble quotient, sous-groupe normal (ou distingué) groupe quotient, sous groupe d’un groupe quotient, théorèmes d’isomorphisme, produit directe et théorème des restes chinois. Produit semi-direct. Groupe opérant sur un ensemble, formule de Burnside. Exemple des groupes d’isométries associés aux solides platoniques. Classification des groupes abéliens finis. Groupes simples : définition et exemple du groupe alterné. Sujets complémentaires : théorèmes de Sylow, présentation de groupes par générateurs et relations, groupe d’isométries. Il est recommandé d’avoir suivi le cour d’Algèbre linéaire 1 avant de suivre ce cours. Ce cours comporte une séance de travaux pratiques (TP) de deux heures par semaine.

• MAT1150 – Arithmétique et géométrie classique